Треугольник. медиана, биссектриса, высота, средняя линия

Алан-э-Дейл       15.04.2022 г.

Содержание

Задача про медиану в прямоугольном треугольнике

Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам, равны, соответственно,  3 см и 4 см. Найдите гипотенузу треугольника

Решение

Прежде чем начать решение задачи, обратим внимание на соотношение длины гипотенузы прямоугольного треугольника и медианы, которая опущена на нее. Для этого обратимся к формулам 2, 4, 5 свойств медианы в прямоугольном треугольнике

В этих формулах явно указано соотношение гипотенузы и медианы, которая на нее опущена как 1 к 2. Поэтому,для удобства будущих вычислений (что никак не повлияет на правильность решения, но сделает его более удобным), обозначим длины катетов AC и BC через переменные x и y как 2x и 2y (а не x и y). 

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол C у него прямой по условию задачи, катет AC — общий с треугольником ABC, а катет CD равен половине BC согласно свойствам медианы. Тогда, по теореме Пифагора   

AC2 + CD2 = AD2

Поскольку AC = 2x, CD = y (так как медиана делит катет на две равные части), то
4×2 + y2 = 9 

Одновременно, рассмотрим прямоугольный треугольник EBC. У него также угол С прямой по условию задачи, катет BC является общим с катетом BC исходного треугольника ABC, а катет EC по свойству медианы равен половине катета AC исходного треугольника ABC.
По теореме Пифагора:
EC2 + BC2  = BE2

Поскольку EC = x (медиана делит катет пополам), BC = 2y, то
x2 + 4y2  = 16

Так как треугольники ABC, EBC и ADC связаны между собой общими сторонами, то оба полученных уравнения также связаны между собой.
Решим полученную систему уравнений. 
4×2 + y2 = 9
x2 + 4y2  = 16 

Сложим оба уравнения (впрочем, можно было выбрать и любой другой способ решения).
5×2 + 5y2 = 25  
5( x2 + y2 ) = 25
x2 + y2 = 5 

Обратимся к исходному треугольнику ABC. По теореме Пифагора  
AC2 + BC2  = AB2
Так как длина каждого из катетов нам «известна», мы приняли, что их длина равна 2x и 2y, то есть
4×2 + 4y2 = AB2 Так как оба слагаемых имеют общий множитель 4, вынесем его за скобки      
4 ( x2 + y2 ) = AB2  
Чему равно  x2 + y2 мы уже знаем (см. выше x2 + y2 = 5), поэтому просто подставим значения вместо  x2 + y2 

AB2 = 4 х 5
AB2 = 20
AB = √20 = 2√5  

Ответ: длина гипотенузы равна 2√5     

Угол между высотой и медианой треугольникаОписание курса Медіана прямокутного трикутника   

Свойства

Медиана, независимо от типа треугольника, имеет 5 характерных черт:

  1. Если нарисовать из каждой вершины по одной прямой, то можно найти центр тяжести. Именно место пересечения всех 3 лучей и будет точкой равновесия.
  2. Также, переплетаясь, они рассекают объект на 6 одинаковых по площади сегментов.
  3. Исходя из этого, можно сделать вывод, что 1 луч рассекает треугольник на 2 куска с равной площадью. В случае равнобедренных треугольников и с равными сторонами получившиеся сегменты даже являются симметричными.
  4. Самой большей стороне соответствует самая маленькая прямая. В случае равносторонней фигуры, соответственно, все 3 будут иметь одну и ту же длину.
  5. Соединяясь, лучи делят друг друга в соотношении 1 к 2.

Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медиана треугольника — это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианов треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

  • Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опустившаяся до основания, является биссектрисой и высотой.
  • В равностороннем треугольнике любая медиана — это высота и биссектриса.
  • Примеры решения проблем
  • ПРИМЕР 1

Задача

В равнобедренном треугольнике ( mathrm{ABC} ) со стороной ( A B=5 mathrm{см} ) медиана была ( B L=4 mathrm{см} ). Найдите область треугольника ( mathrm{ABC} ).

Решение.

  1. Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера, затем ( S_{Delta A B L}=S_{Delta B C L} ) , откуда
  2. ( S_{Delta A B C}=2 S_{Delta A B L} )
  3. Найдите область треугольника ( A B L ). Поскольку треугольник ( mathrm{ABC} ) является равнобедренным, медиана ( mathrm{BL} ) является высотой, то есть ( mathrm{ABL} ) треугольником — прямоугольной и ее площадью
  4. ( S_{A B L}=frac{1}{2} A L cdot B L )
  5. С помощью теоремы Пифагора мы находим ноги ( mathrm{AL} ):
  6. ( A L=sqrt{A B^{2}-B L^{2}}=sqrt{25-16}=3 mathrm{cm} )
  7. Замените полученные результаты в области формулы:
  8. ( S_{A B L}=frac{1}{2} 3 cdot 4=6 mathrm{cm}^{2} )
  9. Теперь мы находим область треугольника ( mathrm{ABC} ):
  10. ( S_{A B C}=2 S_{A B L}=2 cdot 6=12 mathrm{cm}^{2} )

Ответ

  • ( S_{A B C}=12 )
  • ПРИМЕР 2

Задача

В треугольнике ( riangle B C ) со сторонами ( AB=4 mathrm{см} ), ( AC=6 mathrm{cm} ) и углом ( angle A=60^{circ} ) , мы выполнили медианны ( AK ) и ( BL ), которые пересекаются в точке ( O ). Найдите ( BO ).

Решение.

  1. Так как ( BL ) — медиана треугольника,
  2. ( A L=L C=frac{1}{2} A C=3 mathrm{cm} )
  3. Рассмотрим треугольник ( ABL ). По теореме о косинуале находим
  4. ( B L=sqrt{A B^{2}+A L^{2}-2 A B cdot A L cos angle A}=sqrt{16+9-2 cdot 4 cdot 3 cdot frac{1}{2}}=sqrt{13} mathrm{см} )

Медианы ( mathrm{AK} ) и ( BL ) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е.

$( B O=frac{2}{3} B L=frac{2 sqrt{13}}{3} mathrm{cm} )

Ответ

( B O=frac{2 sqrt{13}}{3} )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Геометрия. Урок 3. Задания. Часть 2

№10. В треугольнике A B C B M – медиана и B H – высота. Известно, что A C = 216, H C = 54 и ∠ A C B = 40 ° . Найдите угол A B M .

Решение:

Точка M – середина стороны A C . Отрезки A M и M C равны.

  • A M = M C = A C 2 = 216 2 = 108
  • M H + H C = M C
  • x + 54 = 108
  • x = 54

  1. В △ M H C B H является высотой и медианой, значит △ M H C – равнобедренный.
  2. У равнобедренного треугольника углы при основании равны.
  3. ∠ B C H = ∠ B M C = 40 °

∠ B M A является смежным с ∠ B M C . Сумма смежных углов равна 180 ° .

  • α + 40 ° = 180 °
  • α = 180 ° − 40 ° = 140 °
  • Ответ: 140

№11. Точки M и N являются серединами сторон A B и B C треугольника A B C , сторона A B = 66 , сторона B C = 37 , сторона A C = 74 . Найдите M N .

Решение:

  1. M N – средняя линия в △ A B C , параллельная стороне A C .
  2. M N = 1 2 A C = 74 2 = 37
  3. Ответ: 37

№12. Площадь прямоугольного треугольника равна 722 3 . Один из острых углов равен 30 ° . Найдите длину катета, лежащего напротив этого угла.

Решение:

  • Катет B C лежит напротив угла, равного 30 ° .
  • Катет, лежащий напротив угла 30 ° равен половине гипотенузы.
  • Обозначим катет B C = x , тогда A B = 2 x .
  • Применим теорему Пифагора, чтобы выразить A C через x :
  • A C 2 + x 2 = ( 2 x ) 2
  • A C 2 = 4 x 2 − x 2 = 3 x 2
  • A C = ± 3 x 2 = [ − x 3 не подходит x 3 подходит
  • A C = x 3
  • S △ A B C = A C ⋅ C B 2
  • x ⋅ x 3 2 = 722 3
  • x 2 2 = 722
  • x 2 = 1444
  • x = ± 1444 = [ − 38 не подходит 38 подходит
  • x = 38
  • Ответ: 38

№13. Точка H является основанием высоты, проведённой из вершины прямого угла B треугольнике A B C к гипотенузе A C . Найдите A B , если A H = 6 , A C = 24 .

Решение:

  1. Вспоминаем соотношение отрезков в прямоугольном треугольнике:
  2. x = A H ⋅ A C
  3. x = 6 ⋅ 24 = 144 = 12
  4. Ответ: 12

№14. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 12 и 13.

Решение:

  • S △ A B C = A C ⋅ B C 2
  • Для того, чтобы найти площадь, надо найти неизвестный катет. Найдем его через теорему Пифагора:
  • x 2 + 12 2 = 13 2
  • x 2 = 169 − 144 = 25
  • x = ± 25 = [ − 5 не подходит 5 подходит
  • S △ A B C = A C ⋅ B C 2 = 5 ⋅ 12 2 = 30
  • Ответ: 30

№15. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 10, а угол, лежащий напротив него, равен 45 ° . Найдите площадь треугольника.

Решение:

Найдем третий угол треугольника. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90 ° .

∠ B = 90 ° − 45 ° = 45 °

В △ A B C два угла равны, значит он равнобедренный.

  1. B C = C A = 10
  2. S △ A B C = B C ⋅ C A 2 = 10 ⋅ 10 2 = 100 2 = 50
  3. Ответ: 50

№16. На рисунке изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину медианы треугольника, проведённую из вершины прямого угла.

Решение:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла равна половине гипотенузы.

  • В данном прямоугольном треугольнике катеты равны 3 и 4.
  • Гипотенуза по теореме Пифагора будет равна:
  • 3 2 + 4 2 = 9 + 16 = 25 = 5
  • Медиана равна половине гипотенузы:
  • 5 2 = 2,5
  • Ответ: 2,5

№17. Точки D и E – середины сторон A B и B C треугольника △ A B C . Найди площадь △ A B C , если площадь △ D B E равна 7.

Решение:

  1. D E – средняя линия.
  2. Площадь треугольника, отсеченного средней линией, равна четверти площади большого треугольника.
  3. S △ D B E = 1 4 S △ A B C
  4. S △ A B C = 4 ⋅ S △ D B E = 4 ⋅ 7 = 28
  5. Ответ: 28

№18. Точки D и E – середины сторон A B и B C треугольника A B C . Найди площадь △ D B E , если площадь △ A B C равна 100.

Решение:

  • D E – средняя линия.
  • Площадь треугольника, отсеченного средней линией, равна четверти площади большого треугольника.
  • S △ D B E = 1 4 S △ A B C = 100 4 = 25
  • Ответ: 25

Основные линии треугольника

Медиана

Медиана треугольника — это отрезок, соединяющий верщину треугольника
с серединой противолежащей стороны этого треугольника.

Свойства медиан треугольника

  1. Медиана разбивает треугольник на два треугольника одинаковой площади.
  2. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую
    из них в отношении 2:1, считая от вершины. Эта точка называется центром
    тяжести
    треугольника.
  3. Весь треугольник разделяется своими медианами на шесть равновеликих
    треугольников.

Биссектриса

Биссектриса
угла
— это луч, который исходит из его вершины, проходит между его
сторонами и делит данный угол пополам. Биссектрисой треугольника называется
отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину с точкой на
противолежащей стороне этого треугольника.

Свойства биссектрис треугольника

  1. Биссектриса угла — это геометрическое место точек, равноудаленных от
    сторон этого угла.
  2. Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону
    на отрезки, пропорциональные прилегажащим сторонам: .
  3. Точка пересечения биссектрис треугольника является

Высота

Высотой
треугольника называется перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника
к прямой, содержащей противоположную сторону этого треугольника.

Свойства высот треугольника

  1. В высота, проведенная
    из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника,
    исходному.
  2. В две его
    высоты отсекают от него треугольники.

Срединный перпендикуляр

Прямую, проходящую через середину отрезка перпендикулярно к нему, называют
серединным перпендикуляром к отрезку.

Свойства серединных перпендикуляров треугольника

  1. Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов
    этого отрезка. Верно и обратное утверждение: каждая точка, равноудаленная
    от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.
  2. Точка пересечения серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам
    треугольника, является центром .

Средняя линия

Средней
линией треугольника
называется отрезок, соединяющий середины двух его
сторон.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

  • Δ ABC
  • Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
  • Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
  • Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
  • Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
  • AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
  • Δ ABH = Δ BCH
  • Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Доказательство:

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

  1. Средняя линия равна половине длины основания и параллельна ему.
  2. Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному с коэффициентом 1/2; его площадь равна четверти площади данного.
  3. Три средние линии разделяют исходную фигуру на четыре равных треугольника. Центральный из них называют дополнительным.
  4. Три средние линии разделяют исходный прямоугольный треугольник на четыре равных прямоугольных треугольника.

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания b) равнобедренного треугольника

Формулы длины равных сторон равнобедренного треугольника (стороны a):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

b — основание равнобедренного треугольника

a — равные стороны равнобедренного треугольника

α — углы при основании

β — угол, образованный равными сторонами

L — высота, биссектриса и медиана

Формулы высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через сторону и угол (L)

Формула высоты, биссектрисы и медианы равнобедренного треугольника, через стороны (L)

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике с доказательствами

В этой статье мы рассмотрим свойства медианы в прямоугольном треугольнике, а также их доказательства.

Медиана — это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны. Для прямоугольного треугольника это будут медианы, проведённые с острого угла к серединам катетов или с прямого к центру гипотенузы (рис. 1).

Рисунок 1

Свойства медианы в прямоугольном треугольнике

  1. Медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке, а точка пересечения делит их в соотношении два к одному считая от вершины, из которой проведена медиана.
  2. Медиана, проведённая из вершины прямого угла к гипотенузе, равна половине гипотенузы.
  3. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Первое свойство

Доказать, что медианы в прямоугольном треугольнике пересекаются в одной точке и делятся в пропорции 2:1, считая от вершины.

Доказательство:

  1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Проведем две медианы AE и BD, которые пересекаются в точке X (рис. 2).

    Рисунок 2

  2. Середины отрезков AX и BX обозначим, соответственно, буквами F и G (рисунок 3).

    Рисунок 3

  3. Соединим между собой точки (D, F, G и E) и получим четырёхугольник DFGE (рис. 4).

    Рисунок 4

  4. Сторона DE этого четырёхугольника будет средней линией треугольника ABC. Согласно определению: отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, является его средней линией. При этом по свойству средняя линия параллельна не пересекающейся с ней стороне и равна половине этой стороны, то есть. DE || AB и DE = AB / 2.
  5. Аналогично сторона FG треугольника AXB будет его средней линией. FG || AB и FG = AB / 2
  6. Отсюда следует, что отрезки DE и FG являются параллельными и равными. Следовательно, четырехугольник DFGE – параллелограмм (по признаку параллелограмма).
  7. Так как диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам, то FX=XE, GX=XD

    Рисунок 5

  8. Так как AF = FX (по построению), то и AF = FX = XE, аналогично DX = XG = GB.
  9. Получается, что точка X делит обе медианы AE и BD в соотношении 2 к 1 считая от вершины треугольника.
  10. Аналогично, мы сможем доказать, что точка пересечения 3-ей медианы, проведенной из прямого угла к гипотенузе, с медианой AE (или BD) будет делить ее в соотношении 2 к 1, считая от вершины. То есть наша 3-я медиана также пройдет через точку X. Отсюда следует, что все 3 наши медианы пересекаются в одной точке.

Что и требовалось доказать.

Доказательство:

  1. Чтобы доказать это свойство рассмотрим прямоугольный треугольник ABC и проведём медиану к гипотенузе. Точку ее пересечения с гипотенузой обозначим буквой D (рис. 6).

    Рисунок 6

  2. Отразим симметрично наш треугольник ABC относительно отрезка AB (рисунок 7). В результате получим четырёхугольник AEBC, в котором AD=DB (поскольку CD медиана к стороне AB) и CD=DE (по построению). То есть диагонали четырехугольника AEBC пересекаются и точкой пересечения делятся пополам. Отсюда следует, что AEBC является параллелограммом (по признаку параллелограмма).

    Рисунок 7

  3. Один из признаков прямоугольника говорит о том, что параллелограмм является прямоугольником, если хотя бы один из его углов прямой. Поскольку ∠ACB прямой (по построению), то AEBC — прямоугольник.
  4. Поскольку диагонали прямоугольника равны и в точке пересечения делятся пополам (свойство прямоугольника), то AB = CE и AD = DB = CD = DE.

    Рисунок 8

  5. Так как AB = AD + DB, AD = BD и СD = AD = BD, то получается, что медиана AD, проведенная к гипотенузе AB равна половине ее длины.

Что и требовалось доказать.

Третье свойство

Доказать, что медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, является радиусом описанной окружности.

Доказательство:

  1. Опишем вокруг прямоугольного треугольника ABC окружность.

    Рисунок 9

  2. Поскольку точка C уже лежит на окружности, то для того, чтобы доказать, что медиана CM является радиусом, нам надо доказать, что точка M – центр описанной окружности (т.е. равноудалена от нее).
  3. Так как медиана делит отрезок пополам, а медиана проведенная к гипотенузе равна ее половине (согласно доказанному выше свойству), то точка M будет равноудалена от всех вершин треугольника, которые в свою очередь касаются окружности (рисунок 8).
  4. Отсюда следует, что окружность, описанная вокруг прямоугольного треугольника ABC будет иметь центр на середине гипотенузы (в точке M), а медиана CM будет радиусом описанной окружности.

Что и требовалось доказать.

Калькулятор периметра прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник — простая, но крайне важная для математики фигура. Знание о его свойствах и умение оперировать основными параметрами прямоугольного треугольника позволит вам справиться как со школьными, так и с реальными задачами.

Геометрия прямоугольного треугольника

Геометрически треугольник — это три точки, не лежащие на одной прямой, которые соединены между собой отрезками. Прямоугольный треугольник — фигура, две стороны которой образуют прямой угол.

Эти стороны называются катетами треугольника, а третья, самая длинная сторона, носит название гипотенузы.

Соотношение квадратов катетов и гипотенузы устанавливает теорема Пифагора — одна из фундаментальных теорем евклидовой геометрии.

Соотношения гипотенузы и катетов также положили основу для целого раздела математики — тригонометрии.

Изначально синусы и косинусы определялись как функции углов прямоугольного треугольника, но в современном значении тригонометрические функции расширены на всю числовую ось.

Сегодня тригонометрия используется во многих областях человеческой деятельности: от астрономии и океанографии до анализа финансовых рынков и разработки компьютерных игр.

Прямоугольный треугольник в реальности

Непосредственно прямоугольный треугольник встречается в реальности на каждом углу, как в прямом, так и в переносном смысле.

Форму прямоугольного треугольника имеют грани тетраэдров и призм, которые в реальности превращаются в детали машин, керамическую плитку или скаты крыш.

Угольник — чертежный инструмент, с которым человек впервые встречается на уроке геометрии, имеет форму именно прямоугольного треугольника и используется в проектировании, строительстве и столярном деле.

Периметр треугольника

Периметр — это численная оценка длин всех сторон плоской геометрической фигуры. Периметр n-угольника находится как сумма длин n сторон. Для определения периметра прямоугольного треугольника используется простая формула:

  • P = a + b + c,
  • a и b – катеты, c – гипотенуза.
  • Вычисляя периметр треугольника вручную, вам пришлось бы измерять все три стороны, проводить дополнительные тригонометрические операции или вычисления по теореме Пифагора. Используя онлайн-калькулятор вам достаточно узнать следующие пары переменных:
  • два катета;
  • катет и угол;
  • гипотенуза и угол.

В школьных задачах или на практике вам будут заданы исходные данные, поэтому калькулятор позволяет найти периметр, зная разные пары параметров. Кроме того, инструмент автоматически рассчитывает все остальные атрибуты прямоугольного треугольника, то есть длины всех сторон и величины всех углов. Рассмотрим пару примеров.

Школьная задача

Пусть в школьной задаче вам задан прямоугольный треугольник с длиной катета равным 5 см и прилежащим углом, величина которого составляет 60 градусов. Требуется найти периметр геометрической фигуры.

Онлайн-калькулятор сопровождается рисунком, на котором изображены стороны и углы прямоугольного треугольника. Мы видим, что если катет a = 5 см, то его прилежащий угол — это угол бета.

Это важный момент, так как если вы используете для расчетов угол альфа, то результат будет неверным. Вбиваем эти данные в форму и получаем ответ в виде:

Помимо непосредственно периметра, наша программа также определила величину противолежащего угла, а также длину второго катета и гипотенузы.

Обустройство клумбы

Допустим, вы хотите сделать ограду для клумбы, которая имеет форму прямоугольного треугольника. Для этого вам необходимо узнать периметр фигуры. Конечно, в реальности вы можете просто замерить все три стороны, но легко упростить себе задачу и измерить только два катета. Пусть они имеют длину 8 и 15 метров. Вбиваем эти данные в форму калькулятора и получаем ответ:

P = 40

Итак, вам понадобится закупить материалы для обустройства 40 метров ограды. Наш калькулятор также подсчитал длину гипотенузы — 17 метров. Числа 8, 15 и 17 составляют пифагорову тройку — натуральные числа, которые удовлетворяют условиям теоремы Пифагора.

Заключение

Прямоугольные треугольники получили широкое распространение в повседневности, поэтому определение площади или периметра геометрической фигуры наверняка пригодится вам при решении школьных задач или бытовых вопросов.

Определение медианы

Медианой треугольника называется отрезок, соединяющий один из углов треугольника с серединой противолежащей ему стороны.

(медианой также называют прямую, содержащую данный отрезок)

  • Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся этой точкой на две части в отношении 2:1, считая от вершины угла. Точка их пересечения называется центром тяжести треугольника (относительно редко в задачах для обозначения этой точки используется термин «центроид»), 
  • Медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
  • Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.
  • Большей стороне треугольника соответствует меньшая медиана.

Задачи по геометрии, предлагаемые для решения, в основном, используют следующие свойства медианы прямоугольного треугольника.

  • Сумма квадратов медиан, опущенных на катеты прямоугольного треугольника равна пяти квадратам медианы, опущенной на гипотенузу (Формула 1)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы (Формула 2)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу прямоугольного треугольника, равна радиусу окружности, описанной вокруг данного прямоугольного треугольника (Формула 2)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна половине корня квадратного из суммы квадратов катетов (Формула 3)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два синуса противолежащего катету острого угла (Формула 4)
  • Медиана, опущенная на гипотенузу, равна частному от деления длины катета на два косинуса прилежащего катету острого угла (Формула 4)
  • Сумма квадратов сторон прямоугольного треугольника равна восьми квадратам медианы, опущенной на его гипотенузу (Формула 5)

Обозначения в формулах:

a, b катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза прямоугольного треугольника

Если обозначить треугольник, как ABC, то 

ВС = а

AC = b

AB = c

(то есть стороны a,b,c — являются противолежащими соответствующим углам)

ma— медиана, проведенная к катету а 

mb — медиана, проведенная к катету b

mc — медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе с

α (альфа) — угол CAB, противолежащий стороне а

Гость форума
От: admin

Эта тема закрыта для публикации ответов.