Что такое медиана треугольника

Алан-э-Дейл       15.04.2022 г.

Прогнозируем с Excel: как посчитать коэффициент вариации

Каждый раз, выполняя в Excel статистический анализ, нам приходится сталкиваться с расчётом таких значений, как дисперсия, среднеквадратичное отклонение и, разумеется, коэффициент вариации.

Именно расчёту последнего стоит уделить особое внимание

Очень важно, чтобы каждый новичок, который только приступает к работе с табличным редактором, мог быстро подсчитать относительную границу разброса значений

Очень важно, чтобы каждый новичок, который только приступает к работе с табличным редактором, мог быстро подсчитать относительную границу разброса значений. В этой статье мы расскажем, как автоматизировать расчеты при прогнозировании данных

В этой статье мы расскажем, как автоматизировать расчеты при прогнозировании данных

Что такое коэффициент вариации и для чего он нужен?

Итак, как мне кажется, нелишним будет провести небольшой теоретический экскурс и разобраться в природе коэффициента вариации.

Этот показатель необходим для отражения диапазона данных относительно среднего значения. Иными словами, он показывает отношение стандартного отклонения к среднему значению.

Коэффициент вариации принято измерять в процентном выражении и отображать с его помощью однородность временного ряда.

Так, если вы видите, что значение коэффициента равно 0%, то с уверенностью заявляйте о том, что ряд является однородным, а значит, все значения в нём равны один с другим.

В случае, если коэффициент вариации принимает значение, превышающее отметку в 33%, то это говорит о том, что вы имеете дело с неоднородным рядом, в котором отдельные значения существенно отличаются от среднего показателя выборки.

Как найти среднее квадратичное отклонение?

Поскольку для расчёта показателя вариации в Excel нам необходимо использовать среднее квадратичное отклонение, то вполне уместно будет выяснить, как нам посчитать этот параметр.

Из школьного курса алгебры мы знаем, что среднее квадратичное отклонение — это извлечённый из дисперсии квадратный корень, то есть этот показатель определяет степень отклонения конкретного показателя общей выборки от её среднего значения. С его помощью мы можем измерить абсолютную меру колебания изучаемого признака и чётко её интерпретировать.

Рассчитываем коэффициент в Экселе

К сожалению, в Excel не заложена стандартная формула, которая бы позволила рассчитать показатель вариации автоматически. Но это не значит, что вам придётся производить расчёты в уме. Отсутствие шаблона в «Строке формул» никоим образом не умаляет способностей Excel, потому вы вполне сможете заставить программу выполнить необходимый вам расчёт, прописав соответствующую команду вручную.

Вставьте формулу и укажите диапазон данных

Для того чтобы рассчитать показатель вариации в Excel, необходимо вспомнить школьный курс математики и разделить стандартное отклонение на среднее значение выборки. То есть на деле формула выглядит следующим образом — СТАНДОТКЛОН(заданный диапазон данных)/СРЗНАЧ(заданный диапазон данных). Ввести эту формулу необходимо в ту ячейку Excel, в которой вы хотите получить нужный вам расчёт.

Не забывайте и о том, что поскольку коэффициент выражается в процентах, то ячейке с формулой нужно будет задать соответствующий формат. Сделать это можно следующим образом:

  1. Откройте вкладку «».
  2. Найдите в ней категорию «Формат ячеек» и выберите необходимый параметр.

Как вариант, можно задать процентный формат ячейке при помощи клика по правой кнопке мыши на активированной клеточке таблицы. В появившемся контекстном меню, аналогично вышеуказанному алгоритму нужно выбрать категорию «Формат ячейки» и задать необходимое значение.

Выберите «Процентный», а при необходимости укажите число десятичных знаков

Возможно, кому-то вышеописанный алгоритм покажется сложным. На самом же деле расчёт коэффициента так же прост, как сложение двух натуральных чисел. Единожды выполнив эту задачу в Экселе, вы больше никогда не вернётесь к утомительным многосложным решениям в тетрадке.

Всё ещё не можете сделать качественное сравнение степени разброса данных? Теряетесь в масштабах выборки? Тогда прямо сейчас принимайтесь за дело и осваивайте на практике весь теоретический материал, который был изложен выше! Пусть статистический анализ и разработка прогноза больше не вызывают у вас страха и негатива. Экономьте свои силы и время вместе с табличным редактором Excel.

Определение моды по дискретному вариационному ряду

Используется построенный ранее ряд значений признака, отсортированных по величине. Если объем выборки нечетный, берем центральное значение; если объем выборки четный, берем среднее арифметическое двух центральных значений. Определение моды по дискретному вариационному ряду: наибольшую частоту (60 человек) имеет 5-й тарифный разряд, следовательно, он и является модальным. Mo = 5. Для определения медианного значения признака по следующей формуле находят номер медианной единицы ряда (NMe): , где n – объем совокупности. В нашем случае: , где n – объем совокупности. В нашем случае: . Полученное дробное значение, всегда имеющее место при четном числе единиц совокупности, указывает, что точная середина находится между 95 и 96 рабочими. Необходимо определить, к какой группе относятся рабочие с этими порядковыми номерами. Это можно сделать, рассчитав накопленные частоты. Рабочих с этими номерами нет в первой группе, где всего лишь 12 человек, нет их и во второй группе (12+48=60). 95-й и 96-й рабочие находятся в третьей группе (12+48+56=116), следовательно, медианным является 4-й тарифный разряд.

Моду и медиану можно найти с помощью онлайн-калькуляторов.

Медиана в прямоугольном треугольнике

Почему??? При чём тут прямой угол?

Давай смотреть внимательно. Только не на треугольник, а на … прямоугольник.

Ты заметил, что наш треугольник \( \displaystyle ABC\) – ровно половина этого прямоугольника?

Проведём диагональ \( \displaystyle BD\):

Помнишь ли ты, что диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам?

Если не помнишь, загляни в тему «Параллелограмм, прямоугольник, ромб…»

Но одна из диагоналей – \( \displaystyle AC\) – наша гипотенуза! Значит, точка пересечения диагоналей – середина гипотенузы \( \displaystyle \Delta ABC\).

Она называлась у нас \( \displaystyle M\).

Значит, половина второй диагонали – наша медиана \( \displaystyle BM\). Диагонали равны, их половинки, конечно же, тоже. Вот и получим \( \displaystyle BM=MA=MC\)

Более того, так бывает только в прямоугольном треугольнике!

Доказывать это утверждение мы не будем, а чтобы в него поверить, подумай сам: разве бывает какой-нибудь другой параллелограмм с равными диагоналями, кроме прямоугольника?

Медиана

Медиана – число, характеризующее выборку, т.е. если взять все элементы множества, то это число ровно делит множество пополам. Одна половина множества равна или больше этого число, а другая меньше или равна этому числу.

Объясним это на примере. Допустим, дано следующее множество: ${2, 5, 10, 8, 7}$. Здесь число $7$ делит это множество пополам. $2$ и $5$ меньше, а $10$ и $8$ больше этого числа. Для удобства нахождения медианы сначала нужно отсортировать выборку в возрастающем или убывающем порядке ${2, 5, 7, 8, 10}$. Тогда элемент, стоящий ровно посередине, будет медианой. Как видите, это число $7$.

А как быть, если во множестве четное количество чисел? Например ${2, 5, 6, 8, 10, 15}$. Тогда берем среднеарифметическое значение двух чисел, которые стоят посередине. У нас эти числа $6$ и $8$. Значит $(6+8):2=14:2=7$. Среднее значение этих двух чисел, а значит медиана равна $7$.

Пример из практики

Допустим, в стране $1%$ взрослого населения зарабатывает $1$ млн. у.е. в год (может быть больше, но для примера ограничимся этим числом), $10%$ населения зарабатывает по $20,000$ у.е. в год. Остальные живут за чертой бедности, зарабатывая всего $100$ у.е. в год. Тогда, несмотря на большие заработки $11%$ населения, медиана все равно будет равна $100$ у.е. Потому что подавляющее большинство получает всего $100$ у.е. в год. Теперь вычислим среднее значение.

Значит, среднее значение в год составляет

Зная соотношение неработающих людей, на каждого работающего, и поделив полученное на это число, получим доход на душу населения (с учетом детей, стариков и больных без пенсии).

Итак, такая статистика показывает, что народ живет припеваючи, зарабатывая примерно 1,000 у.е. в месяц, а действительность другая. Как раз, так и вычисляется доход на душу населения. Берется национальный доход и делится на численность населения. Теперь вы понимаете, почему в сводках всегда называют эту цифру, потому что она никоим образом не отображает благосостояние большинства, а только является показателем экономического благосостояния страны.

Свойства равнобедренного треугольника

Чтобы понять суть равнобедренного треугольника, нужно думать как равнобедренный треугольник, стать равнобедренным треугольником — и выучить 5 теорем.

Теоремы помогут доказать, что треугольник равнобедренный, а не какой-нибудь ещё. Давайте приступим.

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Доказательство теоремы:

Мы выяснили, что AС — основание равнобедренного треугольника. Поскольку боковые стороны треугольника равны AB = СB, то и углы при основании — равны. ∠ BАC = ∠ BСA. Изи!

Теорема 2: В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Теорема 3: В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

Теорема 4: В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Чтобы доказать все эти теоремы, вспомним, что такое биссектриса, медиана и высота.

Биссектриса — луч, который исходит из вершины угла и делит этот угол на два равных угла.

Даже если вы не знаете определения, то про крысу, бегающую по углам и делящую их пополам, наверняка слышали. Она не даст вам забыть, что такое биссектриса. А если вам не очень приятны крысы, то вместо нее бегать может кто угодно. Биссектриса — это киса. Биссектриса — это лИса. Никаких правил для воображения нет. Все правила — для геометрии.

Обратите внимание на рисунок. В представленном равнобедренном треугольнике биссектрисой будет отрезок BH

Медиана — линия, которая соединяет вершину треугольника с серединой противолежащей стороны.

Для медианы не придумали веселого правила, как с биссектрисой, но можно его придумать. Например, буддийская запоминалка: «Медиана — это Лама, бредущий из вершины треугольника к середине его основания и обратно».

В данном треугольнике медианой является отрезок BH.

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из вершины треугольника на противоположную сторону.

Высотой в представленном равнобедренном треугольнике является отрезок BH.

Доказательство теорем 2, 3, 4 будет коллективным, поскольку из определений видно, что биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника — это одно и то же.

А вот и доказательство:

  • Δ ABC
  • Высота BH делит Δ ABC на два прямоугольных треугольника ABH и CBH
  • Δ ABH = Δ CBH, поскольку гипотенузы и катет равны по теореме Пифагора
  • Согласно теореме 1: в треугольниках ABH и BCH ∠ BАH = ∠ BСH, поскольку углы при основании равнобедренного треугольника равны
  • Так как Δ ABC — равнобедренный, то его боковые стороны равны AB = BC
  • AH = CH, поскольку точка H делит основание Δ ABC на две равные части
  • Δ ABH = Δ BCH
  • Значит, отрезок BH одновременно биссектриса, медиана и высота равнобедренного треугольника ABC

Вуаля, сразу три теоремы доказаны.

Теорема 5: Если три стороны одного треугольника равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (третий признак равенства треугольников).

Доказательство:

Дано два Δ ABC = Δ A1B1C1.

Чтобы доказать равенство треугольников, мысленно наложите один треугольник на другой так, чтобы стороны совпали. Точка A должна совпасть с точкой А1, точка B должна совпасть с точкой B2, точка С — с точкой С1.

Если все стороны совпадают — треугольники равны, а теорема доказана.

Примеры решения задач

Нет ничего приятнее, чем поупражняться и поискать градусы и длины в равнобедренном треугольнике. Ну… почти ничего.

Задачка раз. Дан ABC: ∠C = 80∘, AB = BC. Найдите ∠B.

Поскольку вы уже знакомы с пятью теоремами, то для вас не секрет, что углы при основании в равнобедренном треугольнике равны.
∠A = ∠C = 80∘.
Не должно вас удивить и то, что сумма углов треугольника равна 180∘
∠B = 180∘ − 80∘ − 80∘ = 20∘.
∠B = 20∘

Задачка два. В равнобедренном треугольнике один из углов равен 110∘. Найдите наибольший из внешних углов этого треугольника.

Вспоминаем первую теорему о равенстве углов при основании (а лучше не забываем вовсе). Поскольку сумма углов = 180∘, то второго угла в 110∘ в нём быть не может. Соответственно, известный угол в 110∘ — это угол при вершине. (180∘−110∘)/2=35∘. Внешние углы треугольника равны: 180∘−110∘=70∘,180∘−35∘=145∘,180∘−35∘=145∘. Больший внешний угол равен 145∘

Свойства медианы треугольника

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Медиана треугольника — это сегмент, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Свойства медианов треугольника

Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера (то есть на треугольники с одинаковой площадью).

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины. Эта точка называется центром тяжести треугольника.

  • Весь треугольник делится на его медианы на шесть треугольников равного размера.
  • В равнобедренном треугольнике медиана, опустившаяся до основания, является биссектрисой и высотой.
  • В равностороннем треугольнике любая медиана — это высота и биссектриса.
  • Примеры решения проблем
  • ПРИМЕР 1

Задача

В равнобедренном треугольнике ( mathrm{ABC} ) со стороной ( A B=5 mathrm{см} ) медиана была ( B L=4 mathrm{см} ). Найдите область треугольника ( mathrm{ABC} ).

Решение.

  1. Медиана делит треугольник на два треугольника равного размера, затем ( S_{Delta A B L}=S_{Delta B C L} ) , откуда
  2. ( S_{Delta A B C}=2 S_{Delta A B L} )
  3. Найдите область треугольника ( A B L ). Поскольку треугольник ( mathrm{ABC} ) является равнобедренным, медиана ( mathrm{BL} ) является высотой, то есть ( mathrm{ABL} ) треугольником — прямоугольной и ее площадью
  4. ( S_{A B L}=frac{1}{2} A L cdot B L )
  5. С помощью теоремы Пифагора мы находим ноги ( mathrm{AL} ):
  6. ( A L=sqrt{A B^{2}-B L^{2}}=sqrt{25-16}=3 mathrm{cm} )
  7. Замените полученные результаты в области формулы:
  8. ( S_{A B L}=frac{1}{2} 3 cdot 4=6 mathrm{cm}^{2} )
  9. Теперь мы находим область треугольника ( mathrm{ABC} ):
  10. ( S_{A B C}=2 S_{A B L}=2 cdot 6=12 mathrm{cm}^{2} )

Ответ

  • ( S_{A B C}=12 )
  • ПРИМЕР 2

Задача

В треугольнике ( riangle B C ) со сторонами ( AB=4 mathrm{см} ), ( AC=6 mathrm{cm} ) и углом ( angle A=60^{circ} ) , мы выполнили медианны ( AK ) и ( BL ), которые пересекаются в точке ( O ). Найдите ( BO ).

Решение.

  1. Так как ( BL ) — медиана треугольника,
  2. ( A L=L C=frac{1}{2} A C=3 mathrm{cm} )
  3. Рассмотрим треугольник ( ABL ). По теореме о косинуале находим
  4. ( B L=sqrt{A B^{2}+A L^{2}-2 A B cdot A L cos angle A}=sqrt{16+9-2 cdot 4 cdot 3 cdot frac{1}{2}}=sqrt{13} mathrm{см} )

Медианы ( mathrm{AK} ) и ( BL ) пересекаются в точке, которая делит каждую из них в соотношении 2: 1, начиная с вершины, т.е.

$( B O=frac{2}{3} B L=frac{2 sqrt{13}}{3} mathrm{cm} )

Ответ

( B O=frac{2 sqrt{13}}{3} )

Нужны оригинальность, уникальность и персональный подход? Закажи свою оригинальную работу УЗНАТЬ СТОИМОСТЬ

Расчет показателей вариации в Excel

Оригинал http://statanaliz.info/index.php/excel/formuly/37-raschet-pokazatelej-variatsii-v-excel

Добрый день, уважаемые любители статистического анализа данных, а сегодня еще и программы Excel.

Проведение любого статанализа немыслимо без расчетов. И сегодня в рамках рубрики «Работаем в Excel» мы научимся рассчитывать показатели вариации. Теоретическая основа была рассмотрена ранее в ряде статей о вариации данных.

Кстати, на этом указанная тема не закончилась, к выпуску планируются новые статьи – следите за рекламой! Однако сухая теория без инструментов реализации – вещь не сильно полезная.

Поэтому по мере появления теоретических выкладок, я стараюсь не отставать с заметками о соответствующих расчетах в программе Excel.

Сегодняшняя публикация будет посвящена расчету в Excel следующих показателей вариации:

— максимальное и минимальное значение

— среднее линейное отклонение

— дисперсия (по генеральной совокупности и по выборке)

— среднее квадратическое отклонение (по генеральной совокупности и по выборке)

Факт возможности расчета упомянутых показателей в Excel свидетельствует о практическом их использовании. И, несмотря на очевидность некоторых моментов, я постараюсь расписать все подробно.

Максимальное и минимальное значение

Начнем с формул максимума и минимума. Что такое максимальное и минимальное значение, уверен, знают почти все. Максимум – самое большое значение из анализируемого набора данных, минимум – самое маленькое (может быть и отрицательным числом).

Это крайние значения в совокупности данных, обозначающие границы их вариации. Примеры реального использования каждый может придумать сам – их полно. Это и минимальные/максимальные цены на что-нибудь, и выбор наилучшего или наихудшего решения задачи, и всего, чего угодно.

Минимум и максимум – весьма информативные показатели. Давайте теперь их рассчитаем в Excel.

Выбираем нужную формулу, в следующем окошке указываем диапазон данных (в котором ищется максимальное или минимальное значение) и жмем «ОК».

Функции МАКС и МИН достаточно часто используются, поэтому разработчики Экселя предусмотрительно добавили соответствующие кнопки в ленту. Они находятся там же, где суммаи среднее значение – в разворачивающемся списке.

В общем, для вызова функции максимума или минимума действий потребуется не больше, чем для расчета средней арифметической. Все архипросто.

Среднее линейное отклонение

Среднее линейное отклонение, напоминаю, представляет собой среднее из абсолютных (по модулю) отклонений от средней арифметической в анализируемой совокупности данных. Математическая формула имеет вид:

где

a – среднее линейное отклонение,

x – анализируемый показатель, с черточкой сверху – среднее значение показателя,

n – количество значений в анализируемой совокупности данных.

В Excel эта функция называется СРОТКЛ.

После выбора функции СРОТКЛ указываем диапазон данных, по которому должен произойти расчет. Нажимаем «ОК». Наслаждаемся результатом.

Среднее квадратическое отклонение

Среднеквадратическое отклонение по генеральной совокупности – это корень из генеральной дисперсии.

Выборочное среднеквадратическое отклонение – это корень из выборочной дисперсии.

Для расчета можно извлечь корень из формул дисперсии, указанных чуть выше, но в Excel есть и готовые функции:

— Среднеквадратическое отклонение по генеральной совокупности СТАНДОТКЛОН.Г

— Среднеквадратическое отклонение по выборке СТАНДОТКЛОН.В.

С названием этого показателя может возникнуть путаница, т.к. часто можно встретить синоним «стандартное отклонение». Пугаться не нужно – смысл тот же.

Далее, как обычно, указываем нужный диапазон и нажимаем на «ОК». Среднее квадратическое отклонение имеет те же единицы измерения, что и анализируемый показатель, поэтому является сопоставимым с исходными данными. Об этом ниже.

Размах выборки

Следующий важная характеристика ряда данных – это размах выборки.

Если выборка представлена в виде упорядоченного ряда данных, то достаточно вычесть из последнего числа ряда первое число. Так, размах выборки результатов теста в классе равен:

25 – 12 = 13,

так как самые лучшие ученики смогли решить все 25 заданий, а наихудший учащийся ответил правильно только на 13 вопросов.

Размах выборки характеризует стабильность, однородность исследуемых свойств. Например, пусть два спортсмена-стрелка в ходе соревнований производят по 5 выстрелов по круговой мишени, где за попадание начисляют от 0 до 10 очков. Первый стрелок показал результаты 8, 9, 9, 8, 9 очков. Второй же спортсмен в своих попытках показал результаты 7, 10, 10, 6, 10. Средние арифметические этих рядов равны:

(8+9+9+8+9):5 = 43:5 = 8,6;

(7+10+10+6+10):5 = 43:5 = 8,6.

Получается, что в среднем оба стрелка стреляют одинаково точно, однако первый спортсмен демонстрирует более стабильные результаты. У его выборки размах равен

9 – 8 = 1,

в то время как размах выборки второго спортсмена равен

10 – 6 = 4.

Размах выборки может быть очень важен в метеорологии. Например, в Алма-Ате и Амстердаме средняя температура в течение года почти одинакова и составляет 10°С. Однако в Алма-Ате в январе и феврале иногда фиксируются температуры ниже -30°С, в то время как в Амстердаме за всю историю наблюдений она никогда не падала ниже -20°С.

Треугольник

Рис. 1. Треугольник (общий случай)

Итак, треугольник, у которого все стороны имеют разную длину и ни один из углов не равен , называется произвольным (рис. 1).

  • В случае, если у треугольника равны две стороны, данный треугольник называется равнобедренным.
  • В случае, если у треугольника все стороны одинаковы, он называется равносторонним.
  • В случае, если у треугольника один и углов прямой (), он называется прямоугольным.
  • Для произвольного треугольника вводят ряд отрезков, характеризующих треугольник и обладающих собственными свойствами:

Для разных типов треугольников поиск длин параметров треугольника может происходить по-разному. Для физических задач использование конкретной формулы диктуется конкретными данными задачи.

Рис. 2. Треугольник (биссектриса)

Биссектриса угла — геометрическое место точек, равноудалённых от сторон этого угла. Т.е. биссектриса — это линия, которая делит угол треугольника пополам (рис. 2). Известно, что биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам.

Для нахождения биссектрисы угла через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

через две стороны и угол:

Медиана треугольника — отрезок, соединяющий любую вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Все медианы треугольника пересекаются в одной точке: данная точка делит медианы в соотношении 2 к 1, считая от вершины (рис. 3).

Рис. 3. Треугольник (медиана)

Для нахождения медианы треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

через две стороны и угол между ними:

Рис. 4. Треугольник (высота)

Высота треугольника — перпендикуляр, опущенный из любой вершины треугольника на противоположную сторону или на её продолжение (рис. 4).

 Для нахождения высоты треугольника через различные данные можно пользоваться следующими соотношениями:

(5)

через сторону и площадь треугольника ()

(6)

Важно: то, какую формулу выбрать для решения конкретной задачи, зависит от того, что легче найти, исходя из дано

Задача №2. Нахождение моды и медианы для дискретного ряда.

тарифный разряд, Xi

Число рабочих

f

Частость, w

Накопленная частота,

S

2

1

0,05

1

3

5

0,25

6

4

8

0,4

14

5

4

0,2

18

6

2

0,1

20

Итого:

2

1,0

20

Распределение рабочих 5 участков по их квалификации (тарифному разряду)

Найти моду по приведенным данным.

Решение:

По максимальной частоте найдем соответствующую группу и варианту: fmax=8 → Мода=4 разряд. Наиболее часто встречающийся разряд рабочих 4.

Определить медиану по данным таблицы.

Как рассчитать медиану? Прежде всего найдем медианный интервал по накопленной частоте. Нужная накопленную частоту. Накопленная частота определяется путем суммирования частот f до тех пор, пока очередная накопленная частота впервые не превысит половину совокупности n+1/2 или n/2.

Для четного ряда 20/2= 10→S= 14 → Ме =4 разряд. Половина всех рабочих имеет тарифный разряд меньше 4, другая половина больше 4.

Расчет медианы в Excel

Медиану для числовых данных легко найти, используя функцию Excel, которая так и называется — МЕДИАНА. Другое дело интервальные данные. Соответствующей функции в Excel нет. Поэтому нужно задействовать приведенную выше формулу. Что поделаешь? Но это не очень трагично, так как расчет медианы по интервальным данным – редкий случай. Можно и на калькуляторе разок посчитать.

Напоследок предлагаю задачку. Имеется набор данных. 15, 5, 20, 5, 10. Каково среднее значение? Четыре варианта:

а) 11;

б) 5;

в) 10;

г) 5, 10, 11.

Мода, медиана и среднее значение выборки – это разный способ определить центральную тенденцию в выборке.

Ниже видеоролик о том, как рассчитать медиану в Excel.

Пример использования

Предположим, что в одной комнате оказалось 19 бедняков и один миллионер. У каждого бедняка есть 5 ₽, а у миллионера — 1 млн ₽ (106). В сумме получается 1 000 095 ₽. Если мы разделим деньги равными долями на 20 человек, то получим 50 004,75 ₽. Это будет среднее арифметическое значение суммы денег, которая была у всех 20 человек в этой комнате.

Медиана в этом случае будет равна 5 ₽ (полусумма десятого и одиннадцатого, срединных значений ранжированного ряда). Можно интерпретировать это следующим образом. Разделив всю компанию на две равные группы по 10 человек, мы можем утверждать, что в первой группе у каждого не больше 5 ₽, во второй же — не меньше 5 ₽. В общем случае можно сказать, что медиана — это то, сколько принёс с собой «средний» человек. Наоборот, среднее арифметическое — неподходящая характеристика, так как оно значительно превышает сумму наличных, имеющуюся у среднего человека.

Анализ

Ключевым шагом является сокращение проблемы до выбора в двух списках, общая длина которых меньше, чем исходный список, плюс линейный коэффициент для шага сокращения. Это позволяет простой индукцией показать, что общее время работы линейно.

Конкретный выбор групп из пяти элементов объясняется следующим образом. Во-первых, вычисление медианы нечетного списка происходит быстрее и проще; хотя можно использовать четный список, для этого требуется взять среднее значение двух средних элементов, что медленнее, чем простой выбор одного точного среднего элемента. Во-вторых, пять — это наименьшее нечетное число, при котором работает медиана медиан. С группами только из трех элементов результирующий список медиан для поиска имеет длину и сокращает список до рекурсивной длины , поскольку он больше 1/2 × 2/3 = 1/3 элементов и меньше 1 / 2 × 2/3 = 1/3 элементов. Таким образом, это по-прежнему оставляет элементы для поиска, не уменьшая проблему в достаточной степени. Однако отдельные списки короче, и можно ограничить результирующую сложность методом Акра – Бацци , но это не доказывает линейность.
п3{\ displaystyle {\ frac {n} {3}}}23п{\ displaystyle {\ frac {2} {3}} п}п{\ displaystyle n}О(пбревно⁡п){\ Displaystyle О (п \ журнал п)}

И наоборот, вместо этого можно сгруппировать по семи, девяти или более элементам, и это действительно работает. Это уменьшает размер списка медиан до , и размера списка , чтобы рекурсия в асимптоты в 3 н / 4 (75%), так как квадранты в приведенном выше таблице приблизительно 25%, а размере перекрывающихся линий уменьшается пропорционально. Это уменьшает коэффициент масштабирования с 10 асимптотически до 4, но, соответственно, увеличивает срок работы по разделению. Поиск медианы для более крупной группы занимает больше времени, но является постоянным фактором (зависит только от ) и, таким образом, не меняет общую производительность по мере роста n . Фактически, учитывая количество сравнений в худшем случае, постоянный коэффициент равен .
грамм{\ displaystyle g}пграмм{\ displaystyle {\ frac {n} {g}}}c{\ displaystyle c}грамм{\ displaystyle g}2грамм(грамм-1)грамм-3{\ displaystyle {\ frac {2g (g-1)} {g-3}}}

Если вместо этого сгруппировать другой способ, скажем, разделив список элементов на 5 списков, вычислив медиану каждого, а затем вычислив медиану из них, т. Е. Группируя по постоянной доле, а не по постоянному числу, то сокращение не будет столь очевидным. проблема, поскольку для этого требуется вычисление 5 медиан, каждое в списке элементов, а затем рекурсивное обращение к списку максимальной длины . Как и в случае группировки по 3, отдельные списки короче, но общая длина не меньше — фактически больше — и, таким образом, можно доказать только сверхлинейные границы. Группировка списков длины в квадрат также сложна.
п{\ displaystyle n}п5{\ displaystyle {\ frac {n} {5}}}710п{\ displaystyle {\ frac {7} {10n}}}п{\ displaystyle {\ sqrt {n}}}п{\ displaystyle {\ sqrt {n}}}

Гость форума
От: admin

Эта тема закрыта для публикации ответов.