Синус 30, косинус 30, тангенс 30 градусов — таблица значений

Алан-э-Дейл       15.04.2022 г.

Содержание

Понятия и определения

Знак треугольника в первом веке ввёл в обиход древнегреческий философ и учёный Герон. Его свойства изучали Платон и Евклид. По их мнению, вся поверхность прямолинейного вида состоит из множеств различных треугольников. В геометрии под ними понимается область, лежащая в плоскости, ограниченной тремя отрезками, соединяющимися в трёх точках, не принадлежащих одной прямой.

Линии, образующие область, называются сторонами, а точки соприкосновения отрезков — вершинами. Основными элементами многоугольника являются:

  1. Медиана — отрезок, соединяющий середину с противолежащим углом. В треугольнике три медианы, которые пересекаются в одной точке. Называется она центроидом и определяет центр тяжести объекта.
  2. Высота — линия, опущенная из вершины на противоположную сторону, образующую с ней прямой угол. Место пересечения высот называют ортоцентром.
  3. Биссектриса — прямая, проведённая из угла таким образом, что делит его на две равные части. Если в треугольник вписать окружность, соприкасающуюся с его сторонами, то её центр совпадёт с точкой пересечения биссектрис. Называют это место — инцентр.

Различают треугольники и по числу равных сторон. Так, если они все равны, фигура называется равносторонней. Когда же по величине совпадают только две стороны, то многоугольник является равнобедренным. Его главное свойство в том, что углы равны. Частным случаем равнобедренного многоугольника является правильный треугольник (разносторонний).

Чтобы не возникала путаница, существуют стандартные обозначения величин. Вершины подписываются заглавными буквами A, B, C, а углы — греческими символами: α, β, γ. Стороны же обозначают прописными буквами латинского алфавита: a, b, c.

Градусы стихотворные и число «пи»

Есть такое число – «пи». Оно почему-то равно 3,14. Хотя не совсем так. Это число с бесконечным количеством цифр после запятой. После запятой стоят не только цифры 1 и 4, но и множество других цифр.

Первый десяток цифр числа «пи» легко написать, если запомнить необычное стихотворение. Правда, стихи про «пи» нужно писать со старинной буквой «ять» – ведь и число «пи» очень старое, и стихотворение совсем не молодое:

Зачем в стихотворении стоит «ять» на конце? И при чем тут «пи»? Все очень просто: считаем буквы в словах стихотворения и подставляем цифры в число «пи».

Получается, кто=3, и=1, шутя=4, и=1, скоро=5 и так далее: 3,1415926536… Многоточие на конце – это значит, что есть продолжение цифрам, бесконечное продолжение.

Причем тут градусы? При том, что «пи» – это величина развернутого угла, но не в градусах, а в радианах (другая единица измерения величины угла). «Пи» радиан есть угол величиной 180 градусов.

Как говорят математики, отсюда нетрудно догадаться, что 0 градусов есть ноль радиан. 90 градусов есть «пи пополам» радиан. Нам этот термин «пи пополам» еще пригодится далее. Все остальные градусы таким же образом можно свести к разным частям числа «пи».

Получается, что мы теперь знаем стишок про 180 градусов – стишок про «пи»! Что это дает?

Изучите другие темы о геометрии

  • Как вычислить площадь поверхности и объем призм и пирамид Это руководство научит вас определять площадь поверхности и объем различных многогранников, таких как призмы, пирамиды. Есть примеры, чтобы показать вам, как решать эти проблемы шаг за шагом.
  • Вычисление центроида составных форм с использованием метода геометрического разложения . Руководство по поиску центроидов и центров тяжести различных составных форм с использованием метода геометрического разложения. Узнайте, как получить центроид из различных представленных примеров.
  • Методы калькулятора для полигонов в плоской геометрии Решение проблем, связанных с плоской геометрией, особенно с полигонами, можно легко решить с помощью калькулятора. Вот исчерпывающий набор задач о многоугольниках, решаемых с помощью калькуляторов.
  • Методы калькулятора для кругов и треугольников в плоской геометрии Решение проблем, связанных с плоской геометрией, особенно с кругами и треугольниками, можно легко решить с помощью калькулятора. Вот исчерпывающий набор методов калькуляции окружностей и треугольников в плоской геометрии.
  • Как вычислить момент инерции сложных или сложных форм Это полное руководство по вычислению момента инерции сложных или неправильных форм. Знать основные необходимые шаги и формулы и владеть решающим моментом инерции.
  • Методы калькуляции четырехугольников в плоской геометрии Узнайте, как решать задачи, связанные с четырехугольниками в плоской геометрии. Он содержит формулы, методы калькулятора, описания и свойства, необходимые для интерпретации и решения задач Четырехугольника.
  • Как построить график эллипса с учетом уравнения Узнайте, как построить график эллипса с учетом общей формы и стандартной формы. Знать различные элементы, свойства и формулы, необходимые для решения задач, связанных с эллипсом.
  • Как построить график круга по общему или стандартному уравнению Узнайте, как построить круг с учетом общей формы и стандартной формы. Ознакомьтесь с преобразованием общей формы в стандартную форму уравнения круга и выучите формулы, необходимые для решения задач о кругах.
  • Как рассчитать приблизительную площадь фигур неправильной формы с помощью правила Симпсона 1/3 Узнайте, как приблизить площадь фигур неправильной формы с помощью правила 1/3. В этой статье рассматриваются концепции, проблемы и решения о том, как использовать правило Симпсона 1/3 для аппроксимации площади.
  • Определение площади поверхности и объема усиков пирамиды и конуса Узнайте, как рассчитать площадь поверхности и объем усеченных поверхностей правого кругового конуса и пирамиды. В этой статье рассказывается о концепциях и формулах, необходимых для определения площади поверхности и объема усеченных твердых тел.
  • Определение площади поверхности и объема усеченных цилиндров и призм Узнайте, как вычислять площадь поверхности и объем усеченных твердых тел. В этой статье рассматриваются концепции, формулы, проблемы и решения, касающиеся усеченных цилиндров и призм.

2020 Луч

Как были вычислены значения синуса, косинуса и тангенса 30 градусов?

Значения тригонометрических функций синуса, косинуса, тангенса при α=30°

Рассмотрим равносторонний треугольник АВС. Пусть, каждая из его сторон будет равна a. Согласно свойствам равностороннего треугольника, все его углы равны, в том числе угол ∠В=60°.

Значения синуса, косинуса и тангенса мы можем вычислить, если найдем соотношение соответствующих сторон для угла 30 градусов в прямоугольном треугольнике. Так как значение этих тригонометрических функций зависит исключительно от градусной меры угла, то вычисленные нами соотношения и будут значениями синуса 30, косинуса 30 и тангенса 30 градусов. 

Сначала совершим дополнительные построения. Из вершины А на сторону BC проведем медиану AO.

Медиана АО в равностороннем треугольнике одновременно является биссектрисой и высотой.

Тогда треугольник АОВ – прямоугольный с углом ∠ВАО=30°. (Угол В равен 60 градусам, ∠ВOA прямой и равен 90 градусам, следовательно, ∠ВАО = 180 — 90 — 60 = 30 градусов)

Значення тригонометричних функцій синуса, косинуса, тангенса при α=30°

Розглянемо рiвнобiчний трикутник АВС. Хай, кожна з його сторін буде рівна а. Згідно з властивостями рівностороннього трикутника, всі його кути рівні, у тому числі кут ∠В=60°. 

Значення синуса, косинуса і тангенса ми можемо обчислити, якщо знайдемо співвідношення відповідних сторін для кута 30 градусів в прямокутному трикутнику. Оскільки значення цих тригонометричних функцій залежить виключно від градусної міри кута, то обчислені нами співвідношення і будуть значеннями синуса 30, косинуса 30 і тангенса 30 градусів. 

Спочатку зробимо додаткові побудови. З вершини А на сторону BC проведемо медіану АO.

Медіана АО у рівносторонньому трикутнику одночасно є бісектрисою і висотою.

Тоді тикутник АОВ — прямокутний з кутом ∠ВАО=30°. (Кут В дорівнює 60 градусам ∠ВOA прямій і дорівнює 90 градусам, отже ∠ВАО = 180 — 90 — 60 = 30 градусів)

Для полученного прямоугольного треугольника вычислим значения тригонометрических функций его углов. Сделаем это сначала для угла 30 градусов.

Величина гипотенузы нам известна и равна a. Катет OB равен a/2 , так как AO — медиана треугольника ABC. Найдем катет AO.

По теореме Пифагора:

АВ2=АО2+ОВ2;

АО2=АВ2-ОВ2

подставим в полученное выражение значение гипотенузы (мы приняли, что оно равно а)

АО2=a2- (а/2)2

АО2=3a2/4  

AO=√( 3a2/4 ) =a√3/2

Теперь мы вычислили все стороны прямоугольного треугольника ABO. Учитывая, что AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, из соотношений сторон прямоугольного треугольника рассчитаем полученные значения. Согласно определению синуса, косинуса и тангенса:

sin 30 = OB / AB (по определению синуса — отношение противолежащего катета к гипотенузе)

cos 30 = AO / AB (по определению косинуса — отношение прилежащего катета к гипотенузе)

tg 30 = OB / AO (по определению тангенса — отношение противолежащего катета к прилежащему)

Откуда:

Так как треугольник ABC — равносторонний, то BO равно AB/2, а значение AO вычислено выше. В результате получаем табличные значения sin 30, cos 30 и tg 30 градусов

Для отриманого прямокутного трикутника обчислимо значення тригонометричних функцій його кутів. Зробимо це спочатку для кута 30 градусів.

Величина гіпотенузи нам відома і рівна а. Катет OB рівний a/2, оскільки АO — медіана трикутника ABC. Знайдемо катет АТ.

По теоремі Піфагора:

АВ2=АО2+ОВ2;

АО2=АВ2-ОВ2

пiдставимо в одержане рiвняння значення гiпотенузи (намi прийнято, що воно равно а)

АО2=a2- (а/2)2

АО2=3a2/4  

AO=√( 3a2/4 ) =a√3/2

Тепер ми обчислили всі сторони прямокутного трикутника ABO. Враховуючи, що AB = a, OB = a/2, AO = a√3/2, iз спiввiдношень сторiн прямокутного трикутника розрахуємо одержанi значення. Згiдно визначенню сiнуса, косiнуса та тангенса:

sin 30 = OB / AB (за визначенням синуса — відношення катета, що протилежить, до гіпотенузи)

cos 30 = AO / AB (за визначенням косинуса — відношення прилеглого катета до гіпотенузи)

tg 30 = OB / AO (за визначенням тангенса — відношення катета, що протилежить, до прилеглого)

Звiдки маємо:

Враховуючи, що трикутник ABC — рiвнобiчний, то BO равно AB/2, а значення AO розраховано вище. В результатi одержуємо табличнi значення sin 30, cos 30 и tg 30 градусiв

Как найти равные катеты, при известной гипотенузе

В этом варианте решение задачи основывается на использовании теоремы Пифагора. Ее применяют к прямоугольным треугольникам и основной ее вариант звучит, как: «Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Так, как катеты у нас равны, то мы можем обозначать оба катета одним и тем же сиволом: a=b, значит — a=a.

  1. Подставляем наши условные обозначения в теорему (с учетом вышеизложенного): c^2=a^2+a^2,
  2. Далее максимально упрощаем формулу: с^2=2*(a^2) — группируем, с=√2*а — подносим обе части уравнения к квадратному кореню, a=c/√2 — выносим искомое.
  3. Подставлем данное значение гипотенузы и получаем решение: a=x/√2

Пример 2: Определение размеров недостающих сторон в треугольнике 30-60-90 с учетом более короткого отрезка

Найдите размеры недостающих сторон, как показано ниже. Зная длину более короткой ноги a = 4, найдите b и c .

Определение размера недостающих сторон в треугольнике 30-60-90 с учетом более короткого отрезка

Джон Рэй Куэвас

Решение

Давайте решим самую длинную сторону / гипотенузу c , следуя теореме о треугольнике 30-60-90. Напомним, что согласно теореме гипотенуза c вдвое длиннее более короткого катета. Подставьте значение более короткого отрезка в формулу.

с = 2 (а)

с = 2 (4)

c = 8 единиц

Согласно теореме о треугольнике 30-60-90, более длинная часть представляет собой квадратный корень из трехкратной длины более короткой части. Умножьте размер более короткой ноги a = 4 на √3.

б = √3 (а)

б = √3 (4)

b = 4√3 единиц

Окончательный ответ

Значения недостающих сторон b = 4√3 и c = 8.

Как найти гипотенузу?

Как найти гипотенузу, зная катеты?

Если известны оба катета (две другие стороны прямоугольного треугольника), можно применить Теорему Пифагора.

Теорема Пифагора — в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты).

Например:

Один катет равен 3 см, другой — 4 см. Таким образом, а = 3, b = 4, подставляем в формулу:

c² = 3² + 4² <=> c² = 9 + 16 <=> c² = 25 <=> c = √25 <=> c = 5.

Ответ: длина гипотенузы 5 см (или x = 5).

Как найти катет в прямоугольном треугольнике

По той же формуле можно найти и длину одного неизвестного катета, нужно только немного её изменить:

Начальная формула: c² = a² + b² (при c — гипотенуза, a и b — катеты), и найти катет можно по этой:

(c — гипотенуза, a и b — катеты)

Например: Один катет равен 3 см, а гипотенуза — 5 см. Нужно узнать длину второго катета.

Применяем формулу b = √c² — a² ⇔

b = √5² — 3² ⇔ b = √25 — 9 ⇔ b = √16 ⇔ b = 4.

Как найти гипотенузу, зная катет и угол?

Если есть противолежащий катет — теорема синусов

Если в условии задачи дан угол и противолежащий катет, то ищем гипотенузу по Теореме синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

Примечание: гипотенуза есть только в прямоугольном треугольнике, однако теорему синусов можно применять к любым треугольникам (не только к прямоугольным).

Формула:

Например:

Известна одна сторона треугольника ?? = √2 и ∠β = 45º.

∠α = 90º (т.к. мы ищем гипотенузу, то второй угол в треугольнике прямой, значит имеет 90º).

Так как во всех треугольниках сумма всех углов равна 180º, то можем узнать оставшийся ∠c.

Значит: ∠c = 180º — (90º + 45º) = 45º.

Подставляем в формулу (a/sinα = b/sinβ = c/sinγ) известные:

BC/sin90º = AC/sin45º = AB/sin45º

В таблице вы найдёте значения для синуса:

sin 45º √2/2
sin 60º √3/2
sin 90º 1

В условии задачи нам дано: ?? = √2, значит:

BC/sin90º = √2/sin45º = AB/sin45º

Подставляем значения синуса из таблицы:

BC/1 = √2/(√2/2) = AB/(√2/2) (забудем на время про катет AB) ⇔

BC = √2/(√2/2) ⇔ BC = 2 (гипотенуза равна 2)

Если хотите вычислить катет, уже зная другой катет и гипотенузу:

AB/(√2/2) = 2 ⇔ AB = √2

Ответ: гипотенуза BC равна 2 см, а катет AB √2 см.

Если есть прилежащий катет — по косинусу

Если в условии задачи дан угол и прилежащий катет, то ищем гипотенузу по косинусу (в прямоугольном треугольнике, косинус острого угла (cos) — это отношение прилежащего катета (b) к гипотенузе(c), таким образом cos a = b/c, из этого получается c = b / cos α).

Т.е. гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α.

Например:

Известна одна сторона треугольника AB = 1 и ∠β = 45º. Нужно вычислить гипотенузу (BC).

Помним, что гипотенуза (c) = прилежащий катет (b) / косинус угла или c = b / cos α. Т.е.: BC = AB / cosβ ⇔ BC = 1/ cos 45º.

Смотрим в таблице, чему равен cos 45º.

BC = 1/ (√2/2) = √2

Ответ: гипотенуза BC равна √2 см.

Как найти гипотенузу равнобедренного треугольника

В равнобедренном треугольнике есть гипотенуза только в том случае, если он одновременно и прямоугольный, т.к. гипотенуза есть только в прямоугольных треугольниках (и его основание будет гипотенузой).

Чтобы найти такую гипотенузу, нужно любой из двух одинаковых катетов возвести в квадрат, умножить на 2 и посчитать квадратный корень: b = √2a² (где b — гипотенуза, а — катет). Это следствие из теоремы Пифагора.

Например:

Катет равнобедренного треугольника равен 7см. Нужно найти гипотенузу.

Формула b = √2a². Подставляем:

b = √2*7² = √2*49 ≈ √98 ≈ 9.899

Если забудете эту формулу, можно использовать уже знакомую формулу Пифагора для гипотенузы (c² = a² + b²):

c² = a² + b²

c² = 7² + 7²

c² = 49 + 49

c² = 98

c = √98

c ≈ 9.899

Ответ: гипотенуза равна 9.899.

Узнайте больше про Теорему Пифагора, Теорему косинусов, а также, что такое Тангенс и Аксиома.

Формулы и свойства прямоугольного треугольника

Обозначения формул:

(см. рисунок выше)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза

α, β — острые углы треугольника

S — площадь

h — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу

ma— медиана, проведенная к стороне a из противолежащего угла (α)

mb — медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β)

mc — медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ)

В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора.

Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)

Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул, поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком «Медиана прямоугольного треугольника», в котором более подробно изложены свойства медианы.

Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)

Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.

Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности. Это свойство часто используется при решении задач.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11) Синус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению противолежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.

Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)

См. также Соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника изучает Тригонометрия.

Содержание главы:

Прямоугольный треугольник

Биссектриса в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике (Часть 2)

Теорема Пифагора и ее доказательство

Применение теоремы Пифагора

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника

Подобие треугольников. Использование в задачахОписание курса Прямоугольный треугольник   

Гипотенуза и угол «α» прямоугольного треугольника

Если в прямоугольном треугольнике известна гипотенуза и угол α, то можно сразу вычислить катеты и угол β из свойства суммы углов треугольника и отношений синуса и косинуса. (рис. 79.1)
β=90°-α
a=c sin⁡α
b=c cos⁡α

Периметр, заданный суммой катетов и гипотенузы, можно представить в виде суммы известной гипотенузы и выраженных через нее катетов.
P=a+b+c=c sin⁡α+c cos⁡α+c=c(sin⁡α+cos⁡α+1)

Площадь любого прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов, следовательно, чтобы рассчитать площадь через гипотенузу и угол α, необходимо также заменить неизвестные на соответствующие выражения.
S=ab/2=(sin⁡α cos⁡α)/2

Найти медиану прямоугольного треугольника проще всего, если она опущена на гипотенузу, в таком случае она будет равна ее половине. Медианы катетов вычисляются по стандартным формулам с заменой переменных через гипотенузу. (рис.79.

3)
m_с=c/2
m_b=√(2a^2+2c^2-b^2 )/2=√(2a^2+2a^2+2b^2-b^2 )/2=√(4a^2+b^2 )/2=√(4 〖c^2 sin^2〗⁡α+〖c^2 cos^2〗⁡α )/2=(с√(3 sin^2⁡α+1))/2
m_a=√(2c^2+2b^2-a^2 )/2=√(2a^2+2b^2+2b^2-a^2 )/2=√(4 〖c^2 cos〗^2⁡α+sin^2⁡α )/2=(с√(3 cos^2⁡α+1))/2

Рассчитать биссектрисы прямоугольного треугольника тоже достаточно просто, если использовать специальные формулы, зная гипотенузу и угол α. Преобразуя выражения, можно упростить их до следующих тождеств. (рис. 79.

4)
l_с=(ab√2)/(a+b)=(c sin⁡α cos⁡α √2)/(sin⁡α+cos⁡α )
l_a=√(bc(a+b+c)(b+c-a) )/(b+c)=√(bc((b+c)^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+c^2-a^2 ) )/(b+c)=√(bc(b^2+2bc+b^2 ) )/(b+c)=√(bc(2b^2+2bc) )/(b+c)=(b√(2c(b+c) ))/(b+c)=(c cos⁡α √(2c(c cos⁡α+c) ))/(c cos⁡α+c)=(c cos⁡α √(2(cos⁡α+1) ))/(cos⁡α+1)
l_b=√(ac(a+b+c)(a+c-b) )/(a+c)=(a√(2c(a+c) ))/(a+c)=(c sin⁡α √(2c(c sin⁡α+c) ))/(c sin⁡α+c)=(c sin⁡α √(2(sin⁡α+1) ))/(sin⁡α+1)

Проведенная средняя линия прямоугольного треугольника создает внутри него еще один подобный треугольник в два раза меньше первоначального, поэтому сама она равна половине параллельной ей стороны. (рис. 79.7)
M_a=a/2=(c sin⁡α)/2
M_b=b/2=(c cos⁡α)/2
M_c=c/2

Прямоугольный треугольник может быть вписан в окружность и описан вокруг нее.

Радиус вписанной окружности внутри треугольника можно вычислить, сложив катеты за вычетом гипотенузы, и разделив полученное число на два.

Рассчитать радиус описанной окружности для прямоугольного треугольника через гипотенузу еще проще, так как он равен ее половине. (рис. 79.5, 79.6)
r=(a+b-c)/2=(c sin⁡α+c cos⁡α-c)/2=c/2 (sin⁡α+cos⁡α-1)
R=c/2

Прямоугольный треугольник

В прямоугольном треугольнике катетами называются две стороны треугольника, которые образуют прямой угол. Гипотенузой называется сторона, лежащая напротив прямого угла. 

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

  1. Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.
  2. Если в прямоугольном треугольнике один из острых углов равен $45$ градусов, то этот треугольник равнобедренный.
  3. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $30$ градусов, равен половине гипотенузы. (Этот катет называется малым катетом.)
  4. Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла в $60$ градусов, равен малому катету этого треугольника, умноженному на $√3$.
  5. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, равна ее половине и радиусу описанной окружности $(R)$. (Рис.14)
  6. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями которых являются катеты данного треугольника. (Рис.14)

Один острый угол прямоугольного треугольника на $44°$ больше другого острого угла. Найдите больший острый угол.

Решение:

В прямоугольном треугольнике $АВС$ $∠А$ и $∠В$ – острые.

Пусть $∠ А – х$, тогда $∠ В — (х+44)$.

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90$ градусов.

На основании этого правила, составим и решим уравнение:

$х+х+44=90$

$2х+44=90$

$2х=90-44$

$2х=46$

$х=23$

Угол $В$ больший в этом треугольнике, через $«х»$ он записывался как, $х+44$, следовательно, $∠В=23+44=67°$.

Ответ: $67$

Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. 

$АС^2+ВС^2=АВ^2$

Соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике:

В прямоугольном треугольнике $АВС$, с прямым углом $С$ 

Для острого угла $В$: $АС$ — противолежащий катет; $ВС$ — прилежащий катет.

Для острого угла $А$: $ВС$ — противолежащий катет; $АС$ — прилежащий катет.

  1. Синусом $(sin)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.
  2. Косинусом $(cos)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.
  3. Тангенсом $(tg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему.
  4. Котангенсом $(ctg)$ острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему.
  5. Основное тригонометрическое тождество: $sin^2x+cos^2x=1$
  6. В прямоугольном треугольнике синус одного острого угла равен косинусу другого острого угла.
  7. Синусы, косинусы, тангенсы и котангенсы острых равных углов равны.
  8. Синусы смежных углов равны, а косинусы, тангенсы и котангенсы отличаются знаками: для острых углов положительные значения, для тупых углов отрицательные значения.

Значения тригонометрических функций некоторых углов:

$α$ $30$ $45$ $60$
$sinα$ ${1}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${√3}/{2}$
$cosα$ ${√3}/{2}$ ${√2}/{2}$ ${1}/{2}$
$tgα$ ${√3}/{3}$ $1$ $√3$
$ctgα$ $√3$ $1$ ${√3}/{3}$

Периметр треугольника, онлайн расчет

Как найти периметр треугольника по длине его сторон, формула периметра треугольника.

Периметр треугольника, онлайн расчет

c – гипотенуза

a,b – катеты, образующие прямой угол

Некоторые свойства прямоугольных треугольников

Свойство 1. Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

Действительно. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, а прямой угол равен 90°, то сумма остальных углов равен 90°.

Свойство 2. Если катет прямоугольного треугольника лежит напротив угла в 30°, то он равен половине гипотенузы.

Доказательство. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACB, у которого угол C прямой, а угол &angle;ABC=30°. Приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник как показано на Рис.2.

Рассмотрим треугольник ADB. Так как &angle;A=&angle;D=&angle;ABD=60°, то треугольник ABD равносторонний. Следовательно AB=AD=BD. Тогда . Конец доказательства.

Свойство 3. Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против данного катета равен 30°.

Доказательство. Пусть у прямоугольного треугольника катет AC равен половине гипотенузы AB. Аналогично вышеизложенному приложим к этому треугольнику равному ему прямоугольный треугольник BCD(Рис.2). Получим равносторонний треугольник, где AB=AD=BD. Тогда &angle;A=&angle;D=&angle;ABD=60°. Но &angle;ABD=2&angle;ABС. Следовательно . Конец доказательства.

Помощь в решении задач по геометрии, учебник онлайн (все калькуляторы по геометрии).
Калькуляторы по геометрии

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание В прямоугольном треугольнике с , гипотенузой см и катетом см найти и .
Решение Поскольку в прямоугольном треугольнике известны длины гипотенузы и катета, то можно найти

Отсюда следует, что . Тогда второй острый угол треугольника

Ответ .

ПРИМЕР 2

Задание В прямоугольном треугольнике см. Найти .
Решение Поскольку треугольник – прямоугольный, то

Так углы A и С равны, то – равнобедренный с боковыми сторонами см. Тогда гипотенузу можно найти с помощью теоремы Пифагора:

см

Ответ см

Стороны прямоугольного треугольника

Признаки прямоугольного треугольника

Признаки равенства треугольников

Высота в прямоугольном треугольнике

Остроугольный треугольник

Треугольник. Виды, свойства, решение треугольников.
Свойства треугольника.

Формулы и свойства прямоугольного треугольника

Обозначения формул:

(см. рисунок выше)

a, b — катеты прямоугольного треугольника

c — гипотенуза

α, β — острые углы треугольника

S — площадь

h — высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу

ma— медиана, проведенная к стороне a из противолежащего угла (α)

mb — медиана, проведенная к стороне b из противолежащего угла (β)

mc — медиана, проведенная к стороне c из противолежащего угла (γ)

В прямоугольном треугольнике любой из катетов меньше гипотенузы (Формулы 1 и 2). Данное свойство является следствием теоремы Пифагора.

Косинус любого из острых углов меньше единицы (Формулы 3 и 4). Данное свойство следует из предыдущего. Так как любой из катетов меньше гипотенузы, то из соотношение катета к гипотенузе всегда меньше единицы.

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (теорема Пифагора). (Формула 5). Это свойство постоянно используется при решении задач.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов (Формула 6)

Сумма квадратов медиан к катетам, равна пяти квадратам медианы к гипотенузе и пяти квадратам гипотенузы, деленных на четыре (Формула 7). Кроме указанной, есть еще 5 формул, поэтому рекомендуется ознакомиться также и с уроком «Медиана прямоугольного треугольника», в котором более подробно изложены свойства медианы.

Высота прямоугольного треугольника равна произведению катетов, деленному на гипотенузу (Формула 8)

Квадраты катетов обратно пропорциональны квадрату высоты, опущенной на гипотенузу (Формула 9). Данное тождество также является одним из следствий теоремы Пифагора.

Длина гипотенузы равна диаметру (двум радиусам) описанной окружности (Формула 10). Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной окружности. Это свойство часто используется при решении задач.

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности можно найти как половину от выражения, включающего в себя сумму катетов этого треугольника минус длину гипотенузы. Или как произведение катетов, деленное на сумму всех сторон (периметр) данного треугольника. (Формула 11) Синус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению противолежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 12). Данное свойство используется при решении задач. Зная величины сторон, можно найти угол, который они образуют.

Косинус угла А (α, альфа) в прямоугольном треугольнике будет равен отношению прилежащего данному углу катета к гипотенузе (по определению синуса). (Формула 13)

См. также Соотношения между углами и сторонами прямоугольного треугольника изучает Тригонометрия.

Содержание главы:

Прямоугольный треугольник

Биссектриса в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике

Высота в прямоугольном треугольнике (Часть 2)

Теорема Пифагора и ее доказательство

Применение теоремы Пифагора

Гипотенуза прямоугольного треугольника

Перпендикуляр к плоскости прямоугольного треугольника

Подобие треугольников. Использование в задачахОписание курса Прямоугольный треугольник   

Свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике сумма двух острых углов равна 90°.

2. В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30° , равен половине гипотенузы.

И наоборот, если в прямоугольном треугольнике катет вдвое меньше гипотенузы, то напротив него лежит угол в 30˚.

Рис. 7. Прямоугольный треугольник с острым углом 30˚

b = c / 2

3. Теорема Пифагора:

Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

c​2​​ = a​2​​ + b​2​​ ,

где a, b – катеты, c – гипотенуза.

Рис. 8. Прямоугольный треугольник

4. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности – есть середина гипотенузы.

И соответственно радиус описанной окружности (R) равен половине гипотенузы.

 ,

где c – гипотенуза.

                         Рис. 9. Прямоугольный треугольник и описанная окружность         

5. В прямоугольном треугольнике медиана, падающая на гипотенузу, равна половине гипотенузы.

 Рис. 10. Прямоугольный треугольник и медиана, падающая на гипотенузу

АМ – медиана прямоугольного треугольника, падающая на гипотенузу, АМ = ВМ = МС, АМ = ВС/2

6. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника подобные исходному.

 Рис. 11. Прямоугольный треугольник и высота, проведенная из вершины прямого угла

АВ/ВС = АН/АС = ВН/АВ

Катет прямоугольного треугольника (определение и понятие). Что такое катет?

Катет (с греч. κάθετος – «перпендикуляр, опущенный, отвесный») – одна из двух сторон прямоугольного треугольника, образующих прямой угол. Противолежащая прямому углу сторона называется гипотенузой.

Рис. 1. Катеты прямоугольного треугольника

AB, AC – катеты

Для непрямоугольного треугольника гипотенуза и катеты не существуют.

Если катеты прямоугольного треугольника имеют одинаковую длину, то такой треугольник является одновременно равнобедренным.

С катетами совпадают две из трёх высоты прямоугольного треугольника.

По катету и гипотенузе или по двум катетам можно судить о равенстве двух прямоугольных треугольников.

Мера расстояний до космических объектов, внесистемная единица измерения расстояний в астрономии – парсек – находится через длину катета прямоугольного треугольника с прилежащим углом 1 угловая секунда и другим катетом длиной 1 астрономическая единица.

Почему это работает: 30-60-90 Доказательство теоремы о треугольнике

Но почему этот особый треугольник работает именно так? Как мы узнаем, что эти правила законны? Давайте подробно рассмотрим, как работает теорема о треугольнике 30-60-90, и докажем, почему эти длины сторон всегда будут согласованными.

Во-первых, давайте на секунду забудем о прямоугольных треугольниках и посмотрим на равносторонний треугольник.

Равносторонний треугольник — это треугольник, у которого все стороны и углы равны. Поскольку внутренние углы треугольника всегда составляют в сумме 180 °, а $ 180/3 = 60 $, равносторонний треугольник всегда будет иметь три угла по 60 °.

Теперь давайте снизим высоту от самого верхнего угла до основания треугольника.

Мы сейчас создал два прямых угла и два равных (равных) треугольника.

Откуда мы знаем, что это равные треугольники? Потому что мы упали с высоты равносторонний треугольник, основание мы разделили ровно пополам. Новые треугольники также имеют одну длину стороны (высоту), и каждый из них имеет одинаковую длину гипотенузы. Поскольку они имеют три общих длины стороны (SSS), это означает треугольники равны.

Примечание: два треугольника конгруэнтны на основе принципов длины стороны-стороны-стороны или SSS, но также основаны на измерениях стороны-угла-стороны (SAS), угла-угла-стороны (AAS) и угла-стороны. боковой угол (ASA). По сути? Они определенно совпадают.

Теперь, когда мы доказали конгруэнтность двух новых треугольников, мы видим, что каждый из верхних углов должен быть равен 30 градусам (потому что каждый треугольник уже имеет углы 90 ° и 60 ° и в сумме должно составлять 180 °). Это означает мы сделали два треугольника 30-60-90.

И поскольку мы знаем, что мы разрезаем основание равностороннего треугольника пополам, мы можем видеть, что сторона, противоположная углу 30 ° (самая короткая сторона) каждого из наших треугольников 30-60-90, составляет ровно половину длины гипотенузы. .

Итак, давайте назовем нашу исходную длину стороны $ x $ и нашу длину, разделенную пополам, $ x / 2 $.

Теперь все, что нам остается сделать, это найти длину средней стороны, которую разделяют два треугольника. Для этого мы можем просто использовать теорему Пифагора.

$ а ^ 2 + Ь ^ 2 = с ^ 2 $

$ (х / 2) ^ 2 + Ь ^ 2 = х ^ 2 $

$ b ^ 2 = x ^ 2 — ({x ^ 2} / 4) $

$ b ^ 2 = {4x ^ 2} / 4 — {x ^ 2} / 4 $

$ b ^ 2 = {3x ^ 2} / 4 $

$ b = {√3x} / 2 $

Итак, у нас осталось: $ x / 2, {x√3} / 2, x $

Теперь давайте умножим каждую меру на 2, чтобы облегчить жизнь и избежать использования дробей. Таким образом, у нас останется:

$ x $, $ x√3 $, $ 2x $

Таким образом, мы видим, что треугольник 30-60-90 будет всегда имеют согласованные длины сторон $ x $, $ x√3 $ и $ 2x $ (или $ x / 2 $, $ {√3x} / 2 $ и $ x $).

К счастью для нас, мы можем доказать, что правила треугольника 30-60-90 верны без всего … этого.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Существует 4 признака равенства прямоугольных треугольников:

  1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.
  4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Чтобы быстрее запомнить данные признаки, можно использовать их краткую трактовку:

  1. по катетам;
  2. по катету и прилежащему острому углу;
  3. по гипотенузе и острому углу;
  4. по гипотенузе и катету.
Гость форума
От: admin

Эта тема закрыта для публикации ответов.